تبلیغات
ریاضیات - دنباله
ریاضیات
"ریاضیات عبارت است از اثبات بدیهی ترین چیز به نابدیهی ترین روش ممکن"
نوشته شده در تاریخ یکشنبه 20 تیر 1389 توسط علی .ک

تعریف دنباله

تابعی را که قلمروش مجموعه اعداد طبیعی و بردش مجموعه غیرتهی A باشد یک دنباله می‌نامیم. اعداد واقع در برد یک دنباله را جملات دنباله و جمله n ام را با نمایش داده و جمله عمومی دنباله می‌گوئیم. بنابراین اگر تابع f از N به A یک دنباله و و مقدار f به ازای n باشد می‌نویسیم. . یک دنباله را بصورت نمایش می‌دهند.
نکته
اگر A=R یا A=Q باشد آنگاه f را بترتیب دنباله حقیقی یا دنباله مختلط می‌نامیم.

تعریف

الف) دنباله صعودی (نزولی) نامیده می‌شود اگر به ازای داشته باشیم:



ب) دنباله ناصعودی (نانزولی) نامیده می‌شود اگر به ازای هر داشته باشیم:



پ) دنباله حقیقی که دارای یکی از ویژگی‌های الف یا ب است، دنباله یکنوا نامیده می‌شود.


ت) دنباله حقیقی را از بالا (پایین) کراندار می‌نامند اگر عدد مثبت M وجود داشته باشد که به ازای هر داشته باشیم:



ث) دنباله کراندار نامیده می‌شود اگر هم از بالا و هم از پایین کراندار باشد. دنباله‌ای که کراندار نباشد بی‌کران است.

همگرایی و یا عدم‌همگرایی دنباله

می‌گوئیم دنباله عددی به عدد L همگراست اگر به ازای هر عدد طبیعی N وجود داشته باشد که:



بعبارت بهتر دنباله فوق به عدد L همگرا است اگر به ازای هر از مرحله‌ای به بعد تمام جمله‌های آن در همسایگی L قرار گیرند. دنباله‌ای که به عددی همگرا نباشد. واگرا نامیده می‌شود. در حقیقت همگرایی دنباله به عدم L هم‌ارز تعریف عدد L بعنوان حد در بی‌نهایت تابعی است که دنباله را تعریف می‌کند و چون حد تابع در هر نقطه منحصر بفرد است. پس L یکتاست.

سوالی که مطرح می‌شود این است که چه نوع دنباله‌‌هایی همگرا هستند؟

در پاسخ به سوال فوق قضیه مهم زیر را داریم:
قضیه
هر دنباله یکنوا و کراندار همگراست. از مهمترین ویژگی‌های دنباله‌های همگرا کرانداربودن آنهاست. بنابراین دنباله‌های همگرا زیردسته‌ای از دسته دنباله‌های کراندار هستند. عکس این مطلب صحیح نیست یعنی دسته دنباله‌های کراندار زیردسته دنباله‌های همگرا نیست. با توجه به مطالب ذکر شده نتیجه مهم دیگری که می‌گیریم این است که: هر دنباله همگرا کراندار است. اما ممکن است دنباله‌ای کراندار باشد ولی همگرا نباشد مثل دنباله با اینکه کراندار است ولی واگراست. توجه می‌کنیم که در کاربرد قضیه ذکر شده در بالا باید هر دو شرط یکنوایی و کرانداری همزمان برقرار باشد تا نتیجه بگیریم دنباله همگراست. در مثال ذکر شده دنباله یکنوا نیست زیرا به ازای nهای مثبت پاسخ مثبت 1 می‌شود و به ازای nهای فرد پاسخ منفی یک خواهد بود پس یکنوا نیست بلکه نوسانی است بنابراین حد ندارد در نتیجه واگراست.
نکته
دنباله‌های ثابت همگرا هستند یعنی اگر k عدد ثابت دلخواهی باشد آنگاه دنباله ثابت که به ازای هر n با تعریف شده است همگرا به k می‌باشد.

دنباله‌های کشی

دنباله را کشی گویند اگر به ازای هر عدد طبیعی N وجود داشته باشد که
نکته بسیار مهم درباره دنباله‌های کشی این است که هر دنباله کشی همگراست. عکس این مطلب نیز صحیح است یعنی هر دنباله کشی همگراست. این مطلب را بدون اثبات می‌پذیریم.

در مورد دنباله‌ها لازم است بدانیم که

  • هرگاه دنباله‌های و به ترتیب به B , A همگرا باشند آنگاه مجموع دو دنباله به همگرا است. ضرب دو دنباله فوق در یکدیگر به همگراست. حاصل تقسیم دو دنباله ذکر شده به همگراست مشروط بر اینکه و هرگز صفر نباشد. هرگاه k یک عدد ثابت و دلخواه باشد در اینصورت فرض است که جمیع حدود به ازای n بسمت بی‌نهایت گرفته می‌شوند.
نتیجه
هرگاه دنباله واگرا بوده و C عددی مخالف صفر باشد آنگاه دنباله واگرا می‌باشد.
قضیه ساندویچ
هرگاه به ازای هر n بزرگتر از اندیسی چون N و آنگاه نیز خواهد بود. کاربرد مطالب فوق توسط قضیه‌ای وسیع می‌شود که می‌گوید حاصل اعمال یک تابع پیوسته بر یک دنباله واگرا ، دنباله‌های همگراست.
قضیه
هرگاه به L میل کند و تابع f در L پیوسته باشد و در جمیع ها تعریف شده باشد آنگاه:


درباره وبلاگ

قصد این وبلاگ فقط وفقط کمک به علاقه مندان به درس شیرین ریاضی است .
به امید موفقیت روز افزون شما عزیزان
دوستانی که سوالی دارند،می توانند ایمیل بزنن...لطفا در نظرات سوال نکنید.
آخرین مطالب
آرشیو مطالب
نویسندگان
پیوند ها
آمار سایت
بازدیدهای امروز : نفر
بازدیدهای دیروز : نفر
كل بازدیدها : نفر
بازدید این ماه : نفر
بازدید ماه قبل : نفر
تعداد نویسندگان : عدد
كل مطالب : عدد
آخرین بازدید :
آخرین بروز رسانی :
قالب وبلاگ