تبلیغات
ریاضیات - فرضیه پیوستار
ریاضیات
"ریاضیات عبارت است از اثبات بدیهی ترین چیز به نابدیهی ترین روش ممکن"
نوشته شده در تاریخ دوشنبه 10 خرداد 1389 توسط علی .ک

مقدمه

همانطور که می دانید ریاضیات علمی است پویا و مجهولات بسیاری در آن وجود دارد و همانند هر علم دیگر در آن فرضیه‌ها و حدس های اثبات نشده زیادی وجود دارد همانند حدس گلدباخ و نیز برخی از فرضیه‌هایی که در آن مطرح می‌شوند ممکن است قرنها بعد اثبات یا رد شوند، همانند حدسی که فرما مطرح کرد و به قضیه آخر فرما مشهور شد و بعد از گذشت حدود 357 سال با زحمت فراوان به اثبات رسید. ممکن است پرسشی توسط ریاضیدانی مطرح شود که بزرگترین ریاضیدانان را به چالش بکشد. یکی از این پرسش‌‌ها که تا کنون پاسخی برای آن یافت نشده است توسط ریاضیدان آلمانی، بنیان گذار نظریه مجموعه ‌ها جرج کانتورتصویر در سال 1880 مطرح گردید. همانطور که می‌دانید از جمله کارهای کانتور این بود که به هر مجموعه عددی نسبت داد که بیانگر تعداد عضو‌های آن مجموعه باشد که به آن عدد اصلی(Cardinal Number) می‌گویند. او عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی و هر مجموعه شمارای نامتناهی را برابر با و عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی را برابر با c قرار دارد. همانطور که می‌دانید عدد اصلی کوچکترین عدد اصلی ترامتناهی(ترانسفینی) است و داریم . در حدود سال 1880 کانتور سوال مهمی که به فرضیه پیوستار (Continuum Hypothesis) مشهور است را مطرح ساخت:
آیا عددی اصلی بین و وجود دارد؟
به زبان مجموعه‌ها، آیا هیچ زیرمجموعه‌ی نامتناهی ناشمارای R وجود دارد که عددی اصلی‌اش از عدد اصلی R کوچکتر باشد؟
کوشش کانتور و بسیاری دیگر از ریاضیدانان برجسته آن زمان در حل این مسئله به نتیجه نرسید. چون در هیچ جای ریاضیات کلاسیک به چنین مجموعه‌ای بر نخورده بودند و به نظر می رسید راهی برای پیدا کردن آن وجود ندارد، کانتور و دیگران معتقد شدند که جواب مسئله پیوستار باشد منفی باشد. این اعتقاد به عنوان فرضیه پیوستار مشهور شده است.

فرضیه پیوستار

عددی اصلی مانند x که در صدق کند وجود ندارد.

پرسشی که در ادامه مطرح شد بسیار نزدیک به فرضیه پیوستار است و معمولا آن را فرضیه پیوستار تعمیم یافته می‌خوانند: آیا عددی اصلی وجود دارد که بین دو عدد اصلی ترامتناهی(ترانسفینی) a و واقع باشد؟
این سوال نیز تاکنون جواب داده نشده است. این اعتقاد که چنین عدد اصلی وجود ندارد فرضیه پیوستار تعمیم یافته نامیده می‌شود.

فرضیه پیوستار تعمیم یافته

عدد اصلی ترامتناهی(ترانسفینی) a هر چه باشد، عدد اصلی مانند x وجود ندارد به گونه‌ای که .

دیری نپایید که در سال 1900، در کنگره بین‌المللی ریاضیدانان در پاریس، ریاضیدان بزرگ آلمانی دیوید هیلبرتتصویر(David Hilbert) فهرستی از 23 مسئله مهم ریاضی حل نشده را عرضه کرد، که اولین آنها فرضیه پیوستار بود. هیچ پیشرفتی در حل این مسئله نشد تا اینکه در سال 1938 کورت گودلتصویر منطق‌دان برجسته قرن، ثابت کرد که اگر فرضیه پیوستار تعمیم یافته به اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها افزوده شود، آنگاه هر تناقضی که امکان داشته باشد به وسیله این دستگاه اصول موضوعی بوجود آید، ممکن است به صورت تناقضی بیان شود که از اصول موضوع قبلی(بدون اینکه فرض پیوستار تعمیم یافته به آنها اضافه شده باشد) نتیجه می‌شود. به عبارت دیگر، فرض پیوستار تعمیم یافته نسبت به اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها سازگار است.
بالاخره در سال 1963 ریاضیدان جوان پل کوهن از دانشگاه استانفورد با استفاده از تکنیک خود با عنوان
forcing کشف مهمی کرد. او نشان داد که فرضیه پیوستار تعمیم یافته بوسیله اصول موضوع متعارفی نظریه مجموعه‌ها اثبات شدنی نیست. کارهای گودل و کوهن نشان می‌دهد که فرضیه پیوستار به نوع نظریه مجموعه‌ها که به کار می‌بریم بستگی دارد. بنابراین، وضع فرض پیوستار تعمیم یافته در نظریه مجموعه‌ها، همانند اصل توازی پنجم اقلیدس(اصل پنجم) در هندسه است. می‌توانیم آنها را بپذیریم یا رد کنیم و در هر حالت یک تئوری سازگار ریاضی بدست می‌آوریم.


درباره وبلاگ

قصد این وبلاگ فقط وفقط کمک به علاقه مندان به درس شیرین ریاضی است .
به امید موفقیت روز افزون شما عزیزان
دوستانی که سوالی دارند،می توانند ایمیل بزنن...لطفا در نظرات سوال نکنید.
آخرین مطالب
آرشیو مطالب
نویسندگان
پیوند ها
آمار سایت
بازدیدهای امروز : نفر
بازدیدهای دیروز : نفر
كل بازدیدها : نفر
بازدید این ماه : نفر
بازدید ماه قبل : نفر
تعداد نویسندگان : عدد
كل مطالب : عدد
آخرین بازدید :
آخرین بروز رسانی :
قالب وبلاگ